Как решать линейные уравнения — формулы и примеры решения простейших уравнений (2024)

Понятие уравнения

Уравнение— это математическое равенство, вкотором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при ихподстановке впример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, тоесть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, снеизвестной переменнойx, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, илевая часть равнялась правой.

Корень уравнения— тосамое число, которое при подстановке наместо неизвестной уравнивает выражения справа ислева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что ихнет.

Решить уравнение сдвумя, тремя иболее переменными— это два, три иболее значения переменных, которые обращают данное выражение вверное числовое равенство.

Равносильные уравнения— этоте, вкоторых совпадают множества решений. Другими словами, уних одни итеже корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся— линейные иквадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений втом, что влевой части должен остаться многочлен отнеизвестных, авправой— нуль.

Линейное уравнение выглядят так: ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Вот, что поможет в решении:

• если а ≠ 0 — уравнение имеет единственный корень: х = -b : а;

• если а = 0 — уравнение корней не имеет;

• если а и b равны нулю, то корнем уравнения является любое число.

Квадратное уравнение выглядит так: ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

• кубические,
• уравнения четвертой степени,
• иррациональные ирациональные,
• системы линейных алгебраических уравнений и другие.

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу идва основных правила.

1. Правило переноса. При переносе изодной части вдругую, член уравнения меняет свой знак напротивоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5.

Начнем стого, что вкаждом уравнении есть левая иправая часть.

Перенесем 3излевой части вправую именяем знак напротивоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Как решаем:

1. Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

   6x - 5x = 10

2. Приведем подобные изавершим решение.

   x = 10

Ответ: x = 10.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной хстоит числовой коэффициент— 4. Ихобъединяет действие— умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит сознаком минус: -4x = 12

Как решаем:

1. Разделим обе части на -4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

   -4x = 12| : (-4)
   x = −3

Ответ: x = −3.

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мызнаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться назадачках, чтобы чувствовать себя увереннее наконтрольных. Давайте решать вместе!

Пример1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Решаем так:

1. ЮПеренести 1излевой части вправую сознаком минус.

   6х = 19 − 1

2. Выполнить вычитание.

   6х = 18

3. Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

   х = 3

Ответ: 3.

Пример2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3(х − 4) + 2х − 1.

Решаем так:

1. Раскрыть скобки

   5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

2. Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

   5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

3. Приведем подобные члены.

   0х = 0

Ответ: х— любое число.

Пример3. Решить: 4х = 1/8.

Решаем так:

1. Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

   х = 1/8 : 4

   х = 1/32

Ответ: 1/32.

Пример4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

Решаем так:

1. 4х + 8 = 6 − 7х

2. 4х + 7х = 6 − 8

3. 11х = −2

4. х = −2 : 11

5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример5. Решить:

Решаем так:

1. 

2. 3(3х - 4) = 4 · 7х + 24

3. 9х - 12 = 28х + 24

4. 9х - 28х = 24 + 12

5. -19х = 36

6. х = 36 : (-19)

7. х = - 36/19

Ответ: 1 17/19.

Пример6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

Решаем так:

1. Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

   х – х = 4 - 7

2. Приведем подобные члены.

   0 * х = - 3

Ответ: нет решений.

Пример7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Решаем так:

1. 2х + 6 = 5 − 7х

2. 2х + 7х = 5 − 6

3. 9х = −1

4. х = −1/9

Ответ: −1/9.